Röviden: helyes: gajra vágjuk, gajra ment helytelen: gallyra vágjuk, gallyra ment

bővebben:

gallyra menni lehet, de nem sok értelme van.
Letörik például, kivéve ha egy nem elhízott mókus megy a gallyra.

A gally jelentése: vékony faág. Rőzse, ha letörik és sok van egy helyen.

A gaj jelentése: eredetileg gajdesz, ami jiddis szó, halál, pusztulás, enyészet.
Gajra megy: tönkremegy, elpusztul, megszűnik, meghal.

Ma megint egy újságban olvastam, hogy valami gallyra vágta a fogyókúrát.
Én meg ettől magamat hanyatt.